VieTeX

Chương trình soạn thảo TeX

Sách: Một số chủ đề hình học tổ hợp

Posted by nhdien on 21/08/2009

Một số chủ đề hình học tổ hợp

hhtohop

Nhà xuất bản GD-HN
Năm xuất bản: 2005
Khổ sách: 14,5-20,5
Số trang: 245

Sách đã được ký thuộc bản quyền NXB và tôi, nên tôi không thể đưa toàn bộ nội dung lên đây được, mong các bạn tìm kiếm ở thư Viện và hiệu sách trong cả nước để chụp lại hoặc mua bản mới, tôi chi đưa lời nói đầu và mục lục các bạn tham khảo.

 1. Lời nói đầu

Hình học tổ hợp là gì? trả lời câu hỏi này không phải là dễ, có rất ít tài liệu phân biệt rạch ròi hình học tổ hợp trong hình học nói chung. Theo tôi hiểu thì hình học tổ hợp là một bộ phận của hình học nói chung, nhưng trong nó người ta xét
các bài toán có liên quan đến tìm và đặc trưng hóa tối ưu theo một nghĩa nào
đó một số lượng điểm hoặc một số dạng hình. Ví dụ như cho một đa giác được phủ bởi những đa giác khác, một số hình vuông nằm trong một hình vuông đã cho, lưới trong mặt phẳng gép bởi những hình bình hành bằng nhau, … Tất cả những bài toán này đều liên quan đến việc nghiên cứu và so sánh những tổ hợp khác nhau của những phần tử mà chúng thỏa mãn những điều kiện đã cho. Để giải những bài toán này người ta sử dụng những kiến thức toán học có tính chất tổ hợp cho hình học.

Những bài toán xem như hình học tổ hợp rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Nhiều bài toán phát biểu rất đơn giản, với kiến thức phổ thông ta cũng có thể hiểu được, nhưng để giải chúng thì cần một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức tổ hợp và hình học. Ngoài ra nhiều bài toán hình học tổ hợp tổng quát cho không gian vẫn không có lời giải. Mục đích chúng tôi biên tập cuốn sách này là giới thiệu những bài toán về hình học tổ hợp đơn giản nhất, phổ thông nhất cùng những phương pháp giải của nó. Mà mỗi bài toán là một cách giải và suy luận thông minh gắn liền với nhiều yếu tố tạo nên bài toán. Chúng tôi cố gắng sưu tầm những bài toán hay về hình học tổ hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài nước làm tài liệu tham khảo như một chuyên đề cho các buổi ngoại khóa.

Cuốn sách này không đòi hỏi bạn đọc cần có kiến thức hình học tổ hợp gì trước đó. Chỉ cần bạn đọc nắm vững kiến thức đang học ở phô thông và các bạn theo dõi lần lượt những khái niệm chúng tôi dẫn giải trong cuốn sách này về hình học tổ hợp. Để cuốn sách dễ hiểu và có tính thực tế trong mỗi chương là những chủ đề lớn, xuất phát là những dẫn giải có gần như thực tế và sau đó mới đến các bài tập hay.

Chương 1. Bài toán phủ hình. Thực tế ở bất cứ đâu ta cũng gặp bài toán này, đó là lát vỉa hè, quảng trường, sàn nhà, tường nhà, … bằng những viên gạch đa giác giống nhau. Câu hỏi đặt ra là những viên gạch đa giác lồi giống nhau như thế nào thì lát kín được mặt phẳng. Đây là một dạng đặc biệt của bài toán phủ trong hình học tổ hợp. Có rất nhiều bài toán lát một bàn cờ ô vuông có kích cỡ cho trước bằng những quân đôminô hoặc các quân có cấu hình như vậy. Tiếp theo ta quan tâm đến bài toán phủ một đa giác bất kỳ bằng những đa giác đồng dạng hoặc vị tự với nó, nhưng với những đa giác phủ có thể chùm lên nhau một phần nào đó. Đặc biệt là phủ mặt bàn vuông bằng các khăn bàn hình chữ nhật mà các khăn này chồng lên nhau có diện tích nhỏ hơn một số cho trước nào đó.

Chương 2. Bài toán bao hình. Thực tế bài toán này cũng có nhiều ứng dụng
khi ta muốn bao gói một hình nào đó bao gói nhỏ nhất hoặc cho bao gói có diện tích cho trước ta muốn tìm được gói hình trong đó lớn nhất? ví dụ cho một tam giác tìm diện tích hình vuông lớn nhất nằm trong tam giác đó, hoặc cho hình vuông tìm hai hình vuông lớn nhất nằm trong đó, … Những bài toán này dẫn đến kết quả rất sâu sắc định lý Yong và Borsuk.

Chương 3. Định lý Helly và ứng dụng. Trong mặt phẳng cho $n$ hình lồi, mà mọi ba hình trong nó đều có điểm chung, thì tất cả $n$ hình này có một điểm chung. Đối với những lớp tập hợp cụ thể như hình bình hành, đoạn thẳng, cung đường tròn thì định lý Helly có giảm nhẹ đi rất nhiều và ở đây ta xét mở rộng nó. Đặc biệt tập hợp của ta có thể không lồi như cung đường tròn chẳng hạn. Từ định lý này ta giải được rất nhiều bài toán phủ.

Chương 4. Bài toán trong mặt phẳng lưới. Một kỹ thuật người ta nghiên cứu các hình là dùng lưới đặt lên các hình đó, đặc biệt là lưới có đỉnh là các tọa độ số nguyên. Đặc biệt những hình đều thì các đỉnh của nó có nằm trên lưới nút nguyên không? Câu trả lời là không phải tất cả các đa giác đều có đỉnh là nút lưới nguyên. Nhưng những đa giác có đỉnh là nút lưới thì việc tính diện tích của nó trở nên dễ dàng, nhờ vào số nút lưới mà nó có. Chương này ta nghiên cứu các tính chất của các lưới này.

Chương 5. Bài toán về tập hợp trù mật. Trên cơ sở lưới ta xét một số bài toán trù mật đối với mắt lưới. Nhiều bài toán đưa bài toán tìm tất cả lân cận gần nó, cụ thể chương này xét các loại bàn có dạng khác nhau và các quỹ đạo của quân Bi a.

Chương 6. Một số bài toán theo chủ đề. Mỗi phần trong chương này có thể triển khai thành một chương như trên, nhưng vì khuôn khổ cuốn sách chúng tôi liệt kê ra đây những bài toán có cùng một đặc điểm từ trong điều kiện của chúng. Những bài toán tô màu các điểm, các cạnh hoặc đoạn thẳng; Những bài toán cắt dán và gép lại thành hình mới; Những bài toán phủ bàn cờ bằng những quân kiểu như Domino;… Nhiều bài toán tìm tối ưu về hình hoặc phần tử trong một cấu hình nào đó được tập hợp trong chương này.

Chương 7. Bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi. Với những kiến thức trong các chương trước ta đi duyệt lại các đề thi trong các kỳ thi Olympic toán quốc tế và một số nước trên thế giới. Ta nghiên cứu kỹ thì thấy các cách giải dựa vào những kiến thức cơ bản của tổ hợp và những trí tưởng tượng phong phú của hình học. Cách giải của chương này rất cẩn thận và có nhiều sự khác biệt với những tài liệu khác. Loại bài toán về hình học tổ hợp cho các kì thi trên khắp thế giới rất phong phú và có nội dung vô cùng sâu sắc, chúng tôi chỉ liệt kê một phần rất nhỏ ở chương này.

Chương 8. Lời giải và trả lời bài tập. Mỗi chương trên đều còn một số lớn các bài tập được áp dụng các bài đã giải trong chương. Chương này hoặccó lời giải hoặc những gợi ý giải thiết thực. Mong các bạn sáng tạo cách giải của mình từ kiến thức trong các chương đã học.

Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán,
các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, ngành tin học và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội.

Hà Nội, tháng 1 năm 2005

Tác giả

 2. Mục lục

 
  Lời nói đầu       3 
  Chương 1.  Bài toán phủ hình    7 

  1.1.   Lát mặt phẳng bằng những đa giác như nhau  7 
  1.2.   Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự chính nó  11 
  1.3.   Phủ đa giác lồi bằng những đa giác đồng dạng nó  16 
  1.4.   Bài toán của Rado cho đoạn thẳng  17 
  1.5.   Bài toán Rado cho hình vuông  20 
  1.6.   Định lý Bloosphelt  22 
  1.7.   Phủ bàn với những khăn hình chữ nhật  26 
  1.8.   Ví dụ những bài toán phủ hình  31 
  1.9.   Bài tập  36 
 

Chương   2.     Bài toán bao hình       38 
  2.1.   Bao hình vuông bởi hình tam giác vuông  39 
  2.2.   Bao hai hình vuông bởi một hình vuông  42 
  2.3.   Bao hình vuông bởi hình chữ nhật  44 
  2.4.   Bao tam giác và hình tròn  46 
  2.5.   Đường kính của tập hợp điểm trong mặt phẳng  49 
  2.6.   Bao hình đa giác bởi lục giác đều  50 
  2.7.   Bài toán Malfatti  54 
  2.8.   Ví dụ những bài toán bao hình  61 
  2.9.   Bài tập  64 
 

  Chương   3.     Định lý Helly và ứng dụng       66 
 
3.1.   Hình lồi và một số tính chất  66 
  3.2.   Định lý Helly trong mặt phẳng  74 
  3.3.   Mở rộng định lý Helly cho những hình bình hành  76 
  3.4.   Định lý Helly cho những cung trên hình tròn  78 
  3.5.   Đường thẳng đi qua n cung đường tròn  80 
  3.6.   Đường thẳng đi qua n hình lồi  81 
  3.7.   Một số ứng dụng khác của định lý Helly  82 
  3.8.   Bài tập  86 
 Chương   4.     Hình trên lưới điểm       88 
 
4.1.   Lưới trong mặt phẳng  88 
  4.2.   Đa giác đều trên lưới  92 
  4.3.   Đa giác đều trên lưới nguyên  95 
  4.4.   Định lý Pick về diện tích đa giác có đỉnh trên lưới  99 
  4.5.   Những đa giác vị tự có các đỉnh trên nút lưới  102 
  4.6.   Thể tích một đa diện có đỉnh trên nút lưới  105 
  4.7.   Những bài toán trên lưới vuông  110 
  4.8.   Bài tập  115 
 

  Chương   5.     Bài toán về tập trù mật       116 
 
5.1.   Bài toán người đi săn  116 
  5.2.   Định lý Iakobi  118 
  5.3.   Quỹ đạo trong bàn bia tròn  120 
  5.4.   Đường tụ quang trong bàn bia tròn  122 
  5.5.   Quỹ đạo trong bàn bia hình chữ nhật  123 
  5.6.   Không tồn tại đường tụ quang trong bàn bia hình chữ nhật  129 
  5.7.   Bài tập  131 
 Chương   6.     Một số bài toán theo chuyên đề       133 
  6.1.   Bài toán tính số lượng đối tượng hình  133 
  6.2.   Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất  137 
  6.3.   Bài toán tô màu hình  140 
  6.4.   Bài toán cắt và gép hình  148 
  6.5.   Bài toán phủ bàn cờ  159 
  6.6.   Bài tập   165 
 

  Chương   7.     Bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi       166 
 
7.1.   Đề thi Olympic toán quốc tế  166 
  7.2.   Đề thi học sinh giỏi một số nước  191 
  7.3.   Bài tập  222 
    

  Chương   8.     Lời giải và gợi ý bài tập       224 
 
8.1.   Các bài chương 1.  224 
  8.2.   Các bài chương 2.  228 
  8.3.   Các bài chương 3.  230 
  8.4.   Các bài chương 4.  232 
  8.5.   Các bài chương 5.  233 
  8.6.   Các bài chương 6.  236 
  8.7.   Các bài chương 7.  239 
 Tài liệu tham khảo       241 
 Danh mục từ khóa    242 
 Mục lục       242 

4 Responses to “Sách: Một số chủ đề hình học tổ hợp”

  1. Nguyễn văn Thiện said

    Cám ơn Thầy. Đoạn chương trình Thầy chỉ chạy tốt. Qua đoạn này làm Em hiểu thêm nhiều vấn đề khác. Chúc Thầy sức khỏe.

    • Nguyễn văn Thiện said

      Chào Thầy em đã phát triển đọan chương trình thầy hương dẫn dể có một doạn vẽ có thể thích hợp cho nhiều hàm đa thức như sau:
      newcommand{\veham}[5]{
      \begin{pspicture*}(#1,#2)(#3,#4)
      \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(#1,#2)(#3,#4)
      %\rput{0}(0,0)
      \psplot[linewidth=1pt]{#1}{#3}{#5}
      \end{pspicture*}
      }
      Sử dụng:
      \veham{-3}{-2}{3}{4}{x^2+1}
      Đoạn này cho chạy thử em thấy cũng được.

      Trả lời
      Em đã mất công thiết lập hàm và cảm thấy là làm được theo ý định của mình. Thực ra khai thác TeX cho công việc của mình là được, tiến bước nữa là gom lại các ý tưởng thành một gói lệnh mọi người dùng chung được. Còn thiết lập 1 lệnh cũng là tốt lắm rồi, khi cần thì bạn mới hiểu cặn kẽ phải làm gì, nhiều lúc tôi chỉ đưa ra lý thuyết chung chung thôi, cám ơn nhiều.

  2. toanltv said

    Nếu tạo tập marco như trên để vẽ chung cho mọi dạng parabol tôi nghĩ là không được. Bởi lẽ, trong khai báo trên, hệ trục toạ độ được khai báo có độ dài phù hợp với parabol đang xét. Nếu dùng maraco như vậy cho mọi dạng parabol , thì do mỗi parabol có hình dạng khác nhau nên hình dạng không thể đẹp được.

    Trả lời
    Tất nhiên đã vẽ hình phải có chương trình và trường hợp cụ thể, không thì phải viết riêng gói lệnh làm việc đó rất mất công. Chứ định nghĩa macro ăn liền thì chỉ làm việc nhỏ thôi không thể đáp ứng được mọi tình huống. Cám ơn bạn đã có nhận xét này.

  3. Nguyễn văn Thiện said

    Nhờ Thầy chỉ giùm cách làm một Macro để chạy một đoạn chạy một đoạn chương trình có chứa tham số ví dụ:
    \begin{pspicture*}(-2.18,-0.96)(2.26,3.42)
    \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.18,-0.96)(2.26,3.42)
    %\rput{0}(0,0)
    \psplot[linewidth=1pt]{-3}{3}{x^2}
    \end{pspicture*}
    Đọan này để vẽ một Parabol, liệu có cách nào làm một macro gọi đoạn chương trình này mà vẽ hàm số khác được không?.

    Trả lời
    Trong 2 cuốn sách của tôi đều nói tới việc làm môi trường và lệnh mới, kể cả làm lệnh có cả đối số. Định nghĩa đoạn trên có thể là:
    \newcommand{\veham}[1]{
    \begin{pspicture*}(-2.18,-0.96)(2.26,3.42)
    \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.18,-0.96)(2.26,3.42)
    %\rput{0}(0,0)
    \psplot[linewidth=1pt]{-3}{3}{#1}
    \end{pspicture*}
    }

    Sử dụng
    \veham{x^2+5}
    Bạn thử lại, tôi chưa chạy thử, nghĩ là được. Bạn đọc lại chương lập lệnh mới nhé.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: