VieTeX

Chương trình soạn thảo TeX

Sách: Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông

Posted by nhdien on 16/08/2009

Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông  (Tái bản lần thứ 3)

ppdienhinh

Nhà xuất bản Giáo Dục
Năm xuất bản: 2001
Khổ sách: 14,5-20,5
Số trang: 228
Tái bản: Lần thứ hai (2003)

Sách đã được ký thuộc bản quyền NXB và tôi, nên tôi không thể đưa toàn bộ nội dung lên đây được, mong các bạn tìm kiếm ở thư Viện và hiệu sách trong cả nước để chụp lại hoặc mua bản mới, tôi chi đưa lời nói đầu và mục lục các bạn tham khảo.

1. Lời giới thiệu

Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán bài tập trong học tập ta phải chọn lấy một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc là ta phải kết hợp nhiều cách giải cho một bài tập. Nhưng không phải ai cũng biết được hết cách giải trong toán học, ngoài ra biết rồi còn áp dụng chúng như thế nào lại là một vấn đề rất khó khăn. Nhằm cung cấp cho bạn đọc những cách giải có thể xẩy ra cho một bài toán chúng tôi liệt kê những phương pháp hay được áp dụng nhất. Từ các phương pháp này bạn đọc sẽ rút ra cho mình kinh nghiệm và sáng tạo cách giải độc đáo khác.

Mỗi phương pháp chỉ mạnh đối với một lớp bài toán cụ thể nào đó, nên cuốn sách này nội dung rất phong phú về các chủng loại bài tập mới mô tả hết được các phương pháp giải. Bạn đọc chỉ cần kiến thức phổ thông và một chút chăm chú, yêu thích toán học là có thể vượt qua mọi điều bí ẩn trong cuốn sách này. Trước đây tác giả cuốn sách này đã soạn ra những cuốnh sách riêng cho những phương pháp cơ bản của toán học như: Phương pháp Đirichlê và ứng dụng [1], Phương pháp quy nạp toán học [2], Phương pháp số phức với hình học phẳng [3]. Trong cuốn sách này không trình bầy những phương pháp trên mà trình bầy các phương pháp tầm cỡ nhỏ hơn và rất quan trọng khi học và làm bài tập toán. Mỗi chương về phương pháp trong cuốn sách này là độc lập, hệ thống bài tập chọn lọc và có ý nghĩa cơ bản trong toán học. Sơ đồ chung của mỗi chương là:

  1. Phần dẫn xuất bao gồm bài toán vui hoặc bài toán cổ mà ta đã biết và sau đó khái quát các bước dùng phương pháp này.

  2. Tiếp đến là hàng loạt bài tập theo một ý nghĩa nào đó của phương pháp mà tác giả cho là quan trọng.

  3. Bước tiếp là một chủ đề hay trong toán học, trình bầy có hệ thống dùng phương pháp đang nghiên cứu.

  4. Phần cuối là bài tập luyện tập, nếu các bạn thấy khó có thể tìm thấy lời gợi ý ở chương cuối cùng.

  5. Cuối chương là các bài tập tự giải dành cho các ban ham học và tìm hiểu thêm.

    Sách được chia làm 7 chương, năm chương đầu là năm phương pháp khác nhau:

Chương 1: Phương pháp phản chứng. Đây là một phương pháp rất hay được dùng trong lập luận toán học, điều quan trọng trong phương pháp này là tạo ra mệnh đề phủ định và tìm ra sự vô lý với giả thiết bài toán và vô lý với kiến thức toán học đã biết. Người nắm chắc các kiến thức toán học rất hay dùng phương pháp này do họ thấy được sự vô lý trong mệnh đề phủ định. Chuyên đề về số nguyên tố làm nổi bật bản chất của phương pháp này đã được dùng từ xa xưa.

Chương 2: Phương pháp phần tử cực biên. Đây là phương pháp xuất phát từ những kiến thức cơ bản của toán học: tiên đề thứ tự. Tác giả muốn trình bầy sự tương đương của tiên đề thứ tự và nguyên lý quy nạp toán học. Chuyên đề về nghiệm nguyên của phương trình vô định được trình bầy cùng với phương pháp dần tới vô hạn cũng làm nổi bật việc áp dụng phương pháp này có từ thời cổ đại.

Chương 3: Phương pháp chia nhỏ bài toán. Nhiều bài toán việc giải nó thực chất là giải từng phần một. Ngày nay trong tin học cũng hay dùng phương pháp này, người ta gọi là phương pháp từ trên xuống, chia thành những cây nhỏ để giải. Chuyên đề của chương này là bài toán lớn Ferma. Hơn ba trăm năm nay bài toán mới được giải, nhưng quá trình tìm lời giải các nhà toán học đã lần lượt khắc phục từng bước và chính điều này gây ra biết bao nghịch lý trong quá trình tìm lời giải tổng quát. Còn trường hợp đơn giản đã được Ferma giải ngay khi đề xuất bài toán.

Chương 4. Phương pháp truy ngược lại. Những điều cần khẳng định ta cứ cho là đúng rồi biến đổi đến mệnh đề hoặc công thức hiển nhiên đúng. Con đường quan trọng của phương pháp này là cả truy xuôi đi và ngược lại. Truy ngược lại tiềm tàng những thừa nhận kết quả sai, không tương đương. Chuyên đề của chương này là nghiệm của những phương trình tương đương. Thông qua những ví dụ các bạn có thể thấy tầm quan trọng như thế nào khi ta có phép biến đổi tương đương.

Chương 5. Phương pháp đưa về bài toán tương đương. Trong toán học một vấn đề có thể phát biểu bởi nhiều ngôn ngữ toán học khác nhau như hình học, đại số, lượng giác, …
Những biến đổi tương đương hoặc thể hiện bằng ngôn ngữ khác làm bài toán dễ giải hơn. Trong sự phát triển của toán học phương pháp này đã phát huy tác dụng rất lớn như số phức, hình học giải tích, …. Chuyên đề của chương này là một phương pháp rất hay nhằm thiết lập hoặc chứng minh bất cứ mối liên hệ nào của những đại lượng trong một tam giác bằng cách giải tích.

Chương 6. Những bài toán hay và một số đề thi học sinh giỏi các nước chủ yếu là phương pháp phản chứng.

Chương 7. Lời giải và gợi ý cho các bài luyện tập ở các chương.

Người biên soạn cuốn sách hoàn toàn áp đặt phương pháp một cách chủ quan, nhiều bài tập có thể giải bằng phương pháp khác hay hơn. Cuốn sách này dành cho các bạn yêu thích toán học trong trường phổ thông, các thầy cô giáo, các sinh viên đại học sư phạm và tất cả những người quan tâm tới giáo dục toán học ở Việt nam. Trong triển khai nội dung và cách diễn đạt thể nào cũng có sai sót, xin bạn đọc bổ sung và cho ý kiến. Mọi liên hệ gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội.

Chúc các bạn thành công.
Hà nội, tháng 3 năm 2001

Nguyễn Hữu Điển                                   

 2. Mục lục

Lời giới thiệu   3

Chương  1.Phương pháp phản chứng  7
   1.1.  Các bước suy luận phản chứng  7
   1.2.  Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh  10
   1.3.  Sự vô lý suy ra từ những kiến thức đã biết  14
   1.4.  Sự vô lý suy ra từ giả thiết của bài toán  20
   1.5.  Tìm mệnh đề phủ định  24
   1.6.  Một chuyên đề về số nguyên tố  28
      1.6.1.  Vô hạn số nguyên tố trong những cấp số cộng  28
      1.6.2.  Định lý Wilson về số nguyên tố  31
   1.7.  Những bài luyện tập  35
   1.8.  Bài tập tự giải  35

Chương  2. Phương pháp phần tử cực biên  37
   2.1.  Bài toán như một câu chuyện kể  37
   2.2.  Sử dụng tính chất của phần tử cực biên  38
   2.3.  Nguyên lý thứ tự và quy nạp toán học  43
   2.4.  Phần tử cực biên và phương pháp phản chứng  47
   2.5.  Chuyên đề nghiệm phương trình vô định  56
      2.5.1.  Một nghiệm là phần tử cực biên  56
      2.5.2.  Các ẩn số sắp xếp thứ tự  60
      2.5.3.  Phương pháp giảm vô hạn  63
   2.6.  Những bài luyện tập  65
   2.7.  Bài tập tự giải  65

Chương  3. Phương pháp chia nhỏ bài toán  68
   3.1.  Bài toán vui  68
   3.2.  Chia nhỏ bài toán trong bước giải  69
   3.3.  Chia nhỏ bài toán do giả thiết đã cho  79
   3.4.  Chuyên đề định lý lớn Ferma  84
      3.4.1.  Định lý Pitago  85
      3.4.2.  Định lý lớn Ferma với $n=4$  89
      3.4.3.  Những bài toán liên quan  92
   3.5.  Những bài luyện tập  94
   3.6.  Bài tập tự giải  95

Chương  4. Phương pháp truy ngược lại  96
   4.1.  Những bài toán cổ và bước truy ngược lại  96
   4.2.  Những bài ví dụ  99
   4.3.  Chuyên đề nghiệm của những phương trình tương đương  106
   4.4.  Những bài luyện tập  118
   4.5.  Bài tập tự giải  119
Chương  5. Phương pháp đưa về bài toán tương đương  121
   5.1.  Một bài toán với nhiều cách giải  121
   5.2.  Thay đổi bài toán trong khi giải  125
      5.2.1.  Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức đưa về khảo sát hàm số  125
      5.2.2.  Đơn giản biểu thức, đặt ẩn số phụ  128
      5.2.3.  Chuyển bài toán hình học sang đại số và ngược lại  130
   5.3.  Đưa bài toán về dạng ngôn ngữ toán học khác  133
   5.4.  Chuyên đề phương pháp tổng quát tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong tam giác  138
      5.4.1.  Đưa vào những thông số thích hợp cho tam giác  138
      5.4.2.  Những miền con của G, tương ứng với những tam giác tù, tam giác nhọn và tam giác vuông  141
      5.4.3.  Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam giác thông qua thông số p, x, y  143
      5.4.4.  Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tam giác  145
   5.5.  Những bài luyện tập  150
   5.6.  Bài tập tự giải  151
Chương  6. Những bài toán hay từ đề thi học sinh giỏi  153
   6.1.  Những bài toán số học  153
   6.2.  Những bài toán hình học  163
   6.3.  Những bài toán đại số  169
Chương  7.  Lời giải và gợi ý   181
Tài liệu tham khảo   197

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: